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Monotone properties of the eigenfunction of Neumann problems
Journal article   Open access   Peer reviewed

Monotone properties of the eigenfunction of Neumann problems

Hongbin Chen, Yi Li and Lihe Wang
Journal de mathématiques pures et appliquées, Vol.130, pp.112-129
10/2019
DOI: 10.1016/j.matpur.2019.01.013
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https://doi.org/10.1016/j.matpur.2019.01.013View
Published (Version of record) Open Access

Abstract

In this paper, we prove the hot spots conjecture for long rotationally symmetric domains in Rn by the continuity method. More precisely, we show that the odd Neumann eigenfunction in xn associated with lowest nonzero eigenvalue is a Morse function on the boundary, which has exactly two critical points and is monotone in the direction from its minimum point to its maximum point. As a consequence, we prove that the Jerison and Nadirashvili's Conjecture 8.3 holds true for rotationally symmetric domains and are also able to obtain a sharp lower bound for the Neumann eigenvalue. Dans cet article, on va démontrer la conjecture de “hot spots” dans un domaine de Rn longue et avec symétrie rotationnelle en appliquant la méthode de la contnuité. Plus précisément, on démontre que la fonction propre au sens de Neumann impaire au variable xn associée avec la plus petite valeur propre strictement positive est une fonction de Mose sur la borne, qui a exactement deux points critiques et est monotone dans la direction de la borne de Neumann à son point de maximum. Puis comme une conséquence, on démontre que la conjecture de Jerison et Nadirashvili 8.3 reste vraie pour les domaines avec symétrie rotationnelle. On est aussi capable d'obtenir une borne inférieure forte de la fonction propre de Neumann.
 Eigenfunction Maximum principle Rotationally symmetric domain

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